Polinomial

polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

  Operasi Antar Sukubanyak

Operasi antar sukubanyak adalah penambahan, pengurangan, atau perkalian sukubanyak dengan menjumlahkan,mengurangkan, atau mengalikan suku-suku sejenis dari setidaknya dua sukubanyak. Materi ini tentu tidak terlalu sulit karena kita telah mempelajari penambahan,pengurangan, dan perkalian aljabar (operasi aljabar) ketika kita menduduki bangku SMP. Misalnya,  4x2 dan 3x2 apabila dilakukan penjumlahan maka menjadi 7x2 dan kalau perkurangan menjadi x2. Jika dilakukan perkalian, maka menjadi 12x4, dengan derajatnya 4.

Contoh soal : Diberi dua sukubanyak f(x)= 3x2+2x+2 dan g(x)= 5x2+7x+1, tentukan: 

a. f(x) + g(x)

Jawab : f(x) + g(x) = (3x2+2x+2) + (2x2+7x+1) = 5x2+9x+3

b. f(x) – g(x)

Jawab : f(x) – g(x) = (3x2+2x+2) – (2x2+7x+1) = 3x2+2x+2-2x2-7x-1 = x2-5x+1

c. f(x) × g(x)

Jawab : f(x) × g(x) = (3x2+2x+2) × (2x2+7x+1) = 6x

Metode Pembagian Suku Banyak

contoh :

-cara bersusun

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1

1. Pembagian Biasa

Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

-Cara Horner

Tentukan nilai suku banyak

  

untuk x = 2 dengan cara skema.

Pembahasan:
Perhatikan gambar skema yang sesuai dengan  di bawah!

Sehingga, nilai suku banyak  untuk x = 2 adalah 27.

Teorema sisa I

“ Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k)”

Bukti :

         Diketahui f (x) = (x – k) h(x) + S . Perhatikan bahwa derajat S lebih rendah satu dari pada derajat     (x – k) , dengan demikian S adalah konstanta. Karena f(x) = (x – k) k(x) + S berlaku untuk semua nilai x, maka jika x diganti dengan k , maka akan diperoleh:

f (k) = (k – k) h(k) + S
       = 0 ⋅ h(k) + S
       = 0 + S
       = S

Jadi, f (k) = S dengan S merupakan sisa pembagian .

Teorema sisa II

Teorema sisa III

“ Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah px + q , di mana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q “

Bukti :

      Diketahui f (x) = (x – a)(x - b) h(x) + S . Perhatikan bahwa (x – a)(x - b) sehingga sisanya maksimum berderajat 1. Itu terjadi karena jika derajat S lebih dari 1 maka masih dapat dilakukan pembagian terhadap (x – a)(x - b). Selanjutnya Misalkan S = px+q , dengan demikian persamaan sebelumnya dapat dituliskan f (x) = (x – a)(x - b) h(x) + (px+q). Karena f (x) = (x – a)(x - b) h(x) + (px+q) berlaku untuk semua nilai x, maka jika x diganti dengan a dan b , maka akan diperoleh:

- jika x diganti dengan a

f (a) = (a – a)(a - b) h(a) + (pa+q). 
       = 0 ⋅ h(a) + (pa+q)
       = 0 + (pa+q)
       = pa+q

- jika x diganti dengan b

f (b) = (b – a)(b - b) h(b) + (pb+q). 
       = 0 ⋅ h(b) + (pb+q)
       = 0 + (pb+q)
       = pb+q

Jadi, S = px+q , dimana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q

Teorema faktor

“ Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0 “

Bukti :

       Diketahui menurut teorema sisa I f(x) = (x – k) ∙ h(x) + f(k). Jika f(k) = 0, maka f(x) = (x – k) ⋅ h(x). Sehingga (x– k) adalah faktor dari f(x). Begitupun sebaliknya, jika (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) = (x – k) ⋅ h(x) . Jika x = k, maka akan diperoleh:

f (k) = (k – k) ⋅ h(k)
       = 0 ⋅ h(k)
       = 0

Jadi, f(k) = 0 jika dan hanya jika (x – k) adalah faktor dari f(x)